Enero

Clase N°4
Fecha: Quito, 04 de enero del 2017

Media y Varianza de variables aleatorias continuas.

V(x) = E(X²) - [E(x)]²

La media y la varianza de las v. a. continuas cumplen las mismas propiedades que las variables aleatorias discretas.

Ejemplo:

Distribución de Probabilidad discretas.

1. Distribución Uniforme.

 X ̴ µ(n)

(x sigue una distribución uniforme con parámetro n)

Ejemplo:

Un experimento consiste en lanzar un dado y observar el resultado. Si X es la variable aleatoria correspondiente a los 6 resultados posibles, encuentre:

       a. Su distribución de probabilidad.
       b. La esperanza de x.
       c. La varianza de x.
       d. La probabilidad de que x sea igual a 3.
       e. P( x ≥ 4)

X: Los resultados posibles al lanzar el dado.
n= 6

a) 

X	1	2	3	4	5	6
f(x)	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

                                   X ̴ µ(6)

b)  

    

E(X)= 1(1/6)+2(1/6)+3(1/6)+4(1/6)+5(1/6)+6(1/6)= 21/6

c) 

V(X)= (1/6)2(12+22+32+42+52+62-212) = 35/12

d) P(x=3) = f(3)= 1/6

e) P( x ≥ 4) = P(x=4)+P(x=5)+P(x=6) = (1/6)+(1/6)+(1/6)= 3/6 = 1/2

2. Distribución Bernoulli

• Es un experimento en el que existen dos posibles resultados.
• El un resultado se denomina "éxito" con probabilidad "p", y el otro resultado se denomina "fracaso" con probabilidad "q"

 p+q=1

q=1-p

X ̴ Be(p)

• Se dice que x sigue una distribución Bernoulli si el experimento se realiza 1 vez.

►E(X) = p                 ► V(x) = p(1-p) = pq

3. Distribución Binomial.

• Esta distribución cuenta el número de éxitos al realizar “n” veces un experimento Bernoulli.

• Características de un Experimento Binomial:

         a. La cantidad de ensayos n, que se realizan es finita.

         b. Cada ensayo tiene únicamente dos resultados posibles: - 1: “éxito” - 0:“fracaso”

         c. Todos los ensayos realizados son independientes

         d. La probabilidad p, de obtener “éxito” es constante.

X ̴ Bi(n,p)

• Media  E(X) y Varianza V(X)

Ejemplo:

Clase N°5
Fecha: Quito, 06 de enero del 2017

Ejercicio:

1. Una fábrica tiene una norma de control de calidad consistente en elegir al azar diariamente 20 artículos producidos y determinar el número de unidades defectuosas. Si hay dos o más artículos defectuosos la fabricación se detiene para inspección de los equipos. Se conoce por experiencia que la probabilidad de que un artículo producido sea defectuoso es 5%.

Encuentre la probabilidad de que en cualquier día la producción se detenga al aplicar esta norma de control de calidad.

 X ̴ Bi(20,0.05)

X: V. a. discreta cantidad de artículos defectuosos.

n = 20 

p = 0.05 

x = 0, 1, ..., 20 

2. La probabilidad de que un disco compacto dure al menos un año sin que falle es de 0.95. Calcule la probabilidad de que en una muestra de 15 discos elegidos al azar 

       a. 12 duren menos de un año

       b. a lo más 5 duren menos de un año

       c. al menos 2 duren menos de un año

       d. obtenga la media y la varianza de los discos compactos.

X: Número de discos que duren menos de un año.

n=15   

p= 0.05

(1-p) = q = 0.95

a) P(x=12) = f(12)
   f(12)= [15!/(3!*12!)] (0.05)12 (0.95)3= 9.52*10-14˷̴ 0

b) P(x≤5)= P(x=0)+P(x=1)+P(x=2)+P(x=3)+P(x=4)+P(x=5)
    P(0)= [15!/(15!*0!)] (0.05)0 (0.95)15
     P(1)= [15!/(14!*1!)] (0.05)1 (0.95)14
    P(2)= [15!/(13!*2!)] (0.05)2 (0.95)13
     ˸       ˸
    P(5)= [15!/(10!*5!)] (0.05)5 (0.95)10

c) P(x≥2)=1-P(x<2)= 1- P(x=0)-P(x=1)

d) E(X)= np= 0.75
    V(X)= npq = o.77125.

Clase N°6
Fecha: Quito, 11 de enero del 2017

4. Distribución de Poisson
 X: V.a. discreta que toma un número infinito de valores. 

X ̴ P(λ)

[X sigue una distribución de Poisson de parametro λ(λ>0)]

→ La probabilidad de que x tome el valor de k es:

K= 0,1, 2, .......

λ representa el promedio de aparecimiento del evento en "n" pruebas.

• Esta distribución se aplica para analizar eventos que se realizan en el tiempo o en el espacio, tales como:

             - Números de accidentes 

             - Número de llamadas telefónicas de una central

             - Número de personas infectadas

             - Número de bacterias en un placa

• Esta ley es una buena aproximación a la binomial cuando:

             - n es relativamente grande (n ≥30)

             - p es pequeñ0 (p < 0.05)

λ = n*p

• Cuando depende del tiempo se transforma:

K= 0,1, 2, .......

• Para el calculo de probabilidades:

K= 0,1, 2, .......

► E(X) =  λ                           ► V(X)= λ 

Te recomiendo ver estos vídeos:

 

Clase N°7

Fecha: Quito, 13 de enero del 2017

 5. Distribución Hipergeométrica.

Consiste en experimentos de muestreo sin reemplazo de un conjunto finito el cual contiene algunos elementos considerados éxitos y los restantes fracasos.

X ̴ H(x,N,k,n)

Ejemplo:

Quince automóviles son llevados a una concesionaria para validar su garantía. Suponga que 5 presentaron graves problemas de motor mientras que 10 tienen problemas sin importancia. Se eligen aleatoriamente 6 automóviles para componerlos cuál es la probabilidad de que 2 tengan problemas graves.

X: Número de autos con problemas graves

N= 15
K= 5
N-K=10
n= 6
x= 2

Aproximación de la distribución hipergeométrica a la distribución binomial.


- Si se cumple que n< 5% N, entonces X ̴ H(x,N,k,n) → X ̴ Bi(n, p)

 p= k/N

6. Distribución Binomial Negativa

- Los ensayos son independientes
- Cada ensayo solo tienen dos resultados posibles; éxito y fracaso.
- La probabilidad de éxito "p" es cte.
- La v.a. x representa la cantidad de ensayos que se deben realizar para obtener un número k de éxitos requeridos.

X ̴ BN ( k, p)

 

Ejemplo:

8. Distribución Geométrica

• Es un caso especial de la distribución binomial negativa cuando k=1.
• Se emplea cuando se quiere conocer la cantidad de ensayo hasta tener el primer éxito.

X ̴ G (p)

 

Ejemplo:

Clase N°8

Fecha: Quito, 18 de enero del 2017

Distribuciones de Probabilidad continua

 1. Distribución Uniforme.

Este modelo corresponde a una v. a. continua cuyos valores tienen igual valor de probabilidad en un intervalo específico para la variable.

                                   X ̴ G [a,b]

Gráfica de distribución uniforme f(x)

Para calcular la media y varianza de la variable:

Distribución uniforme continua F(x)

Gráfica de distribución uniforme continua F(x):

*La función debe ser creciente

Puedes ver algunos ejemplos Aquí
URL: http://www.blogupiicsa.com/2011/01/distribucion-uniforme.html

 2. Distribución Normal.

La gráfica f(x) es la campana de Gauss.

 Carácterísticas:

1. Es simétrica respecto a la media µ
2. Es simétrico en el eje x (horizontal)
3. Sus puntos de inflexión están ubicados en µ-σ  ^  µ+σ

3. Distribución Normal Estandar

Para generalizar y facilitar el cálculo de probabilidad con la distribución Normal, es conveniente definir la Distribución Normal Estándar que se obtiene haciendo μ = 0, y σ² = 1 en la función de densidad de la Distribución Normal 

Z ̴ N [0,1]

Para calcular probabilidad con esta distribución, se puede usar la definición de la distribución acumulada o función de distribución:

** Los valores de la distribución normal estándar están dados en tablas debido a su dificultad para calcularlos manualmente.

Estandarización de la distribución normal.

Notación:

 X ̴ N (0,1)

Z ̴ N (0,1)

Definición:

Tabla de la distribución Normal Estándar
URL: http://www.vitutor.com/pro/5/a_3.html

Clase N°9

Fecha: Quito, 20 de enero del 2017

 Se realizó la Evaluación 3. Corrección disponible en: Tarea 13, Corrección de la Evaluación 3

Clase N°10

Fecha: Quito, 25 de enero del 2017

•  VALORES REFERENCIALES DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL

Si  X  ̴ N(μ, σ²), la probabilidad que tome valores en un intervalo centrado en “μ”, hasta una distancia de una desviación estándar σ es aproximadamente 68%, hasta una distancia de “2σ” es aproximadamente 95% y hasta una distancia de “3σ” es cercano a 100%:

•  Aproximación de la distribución Binomial con la distribución normal estandar

Sea X una v.a. discreta con distribución Binomial con media μ =n*p, y varianza σ² = n*p*(1-p) entonces, el límite de la distribución de la variable aleatoria. 

Es la distribución Normal Estándar: Z ̴  N(0,1)

Se dice que es aplicable si n*p> 5  ^  n*q>5   , q =1-p

Para más información y algunos ejemplos haz clic aquí

Clase N°11

Fecha: Quito, 27 de enero del 2017

4. Distribución Exponencial

X ̴ E (λ)  

λ: constante positiva

Función de distribución f(x)

Gráfica de f(x):

Función de distribución acumulada F(x)

Gráfica de F(x) 

Esta distribución exponencial se aplica: 

·         Problemas de genética.

·         Duración de aparatos electrónicos

·         Desintegración radioactiva

RELACIÓN ENTRE LAS DISTRIBUCIONES EXPONENCIALES Y POISSON

Sea x la variable que cuenta el número de eventos que ocurren en el tiempo (0,t) con MEDIA; λt entonces: 

Sea T el tiempo que trascurre hasta que sucede el primer cuento de Poisson, el rango de T es ( 0, + infinito(  y su función de distribución.

Donde el evento (T >t ) indica que el primer evento Poisson ocurre después de t, es decir (T>t) = (x=0)

También se puede decir :

**Esta relación sirve para contar el tiempo (exponencial) en que ocurren ciertos eventos (poisson cuenta eventos).

Puedes ver algunos ejemplos aquí

URL: http://www.blogupiicsa.com/2011/01/distribucion-exponencial.html