Diciembre

Clase N°13

Fecha:Quito, 02 de diciembre del 2016

Se realizó la Evaluación 2.

Clase N°14
Fecha:Quito, 07 de diciembre del 2016

EVENTOS DEPENDIENTES

Dos o más eventos serán dependientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de uno de ellos afecta la probabilidad de ocurrencia del otro (o otros). Cuando tenemos este caso, empleamos entonces, el concepto de probabilidad condicional para denominar la probabilidad del evento relacionado. La expresión P (A|B) indica la probabilidad de ocurrencia del evento A sí el evento B ya ocurrió.

Se debe tener claro que A|B no es una fracción.

P (A|B) = P(A∩B) / P (B) o P (B|A) = P(A ∩ B) / P(A)

Probabilidad Condicional = P(A ∩ B) / P (B) o P (B|A) = P(A ∩ B) / P(A)

Dos eventos son independientes si el resultado del segundo evento no es afectado por el resultado del primer evento. Si A y B son eventos independientes, la probabilidad de que ambos eventos ocurran es el producto de las probabilidades de los eventos individuales.

P(A ∩ B) = P(A) · P(B)

EVENTOS INDEPENDIENTES

Dos o más eventos son independientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de un evento no tiene efecto sobre la probabilidad de ocurrencia del otro evento (o eventos). Un caso típico de eventos independiente es el muestreo con reposición, es decir, una vez tomada la muestra se regresa de nuevo a la población donde se obtuvo.

Dos eventos, A y B, son independientes si la ocurrencia de uno no tiene que ver con la ocurrencia de otro.

Por definición, A es independiente de B si y sólo si: A y B, son independientes si la ocurrencia de uno no tiene que ver con la ocurrencia de otro.

Por definición, A es independiente de B si y sólo si:A es independiente de B si y sólo si:

(P∩A)=P(A) · P(B)

Ejercicio

• Dos jugadores de fútbol realizan un disparo cada uno. Se conoce que la probabilidad de éxito del primero es 0.7 mientras que la probabilidad éxito el segundo jugador 0.6 calcule la probabilidad de:

1. Ambos jugadores tengan
2. Ninguno tenga éxito
3. Al menos uno tenga éxito.

Jugadores A y B

 P(A)= 0.7

 P(B)= 0.6

a) P(A∩B)= P(A) P(B) = 0.7*0.6= 0.42

b) P(A^c∩ B^c)=P(A^c)(B^c) = 0.3*0.4= 0.12

c) P(A⋃C) = P(A)+P(B)-P(A∩B)= 0.7+0.6-0.42=0.88

   

Clase N°14

Fecha:Quito, 09 de diciembre del 2016

Ejercicio

• En un juego de 40 se reparten 5 cartas al azar a cada jugada a partir de un mato de 40 cartas. ¿Cuál es la probabilidad de que jugador tenga:

1. Un dos, un tres, un cuatro, un cinco del mismo palo
2. 4 cartas del mismo palo
3. Una ronda (3 cartas iguales)

a) P(B)= P(A cualquier palo)·P(2palo igual A)·P(3igual palo)·P(4igual palo)·P(5igual palo)

    P(B)= (4/40) · (1/39) · (1/38) · (1/37) · (1/36) = 5.06*10^-8

b) C: 4 cartas del mismo palo. {A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

   P(C)= (4/40) · (9/39) · (8/38) · (7/37) = 2.29*10^-4

c) D: Ronda.

    

   P(D)= P(1carta) · P(2da carta= #) · P(3ra carta=#)

   P(D)= (1/40) · (3/39) · (2/38) = 1.01*10^-4

*Si quieres aprender la interpretación gráfica de las operaciones con sucesos. Diagramas de Venn mira el video.

SEGUNDO BIMESTRE

Clase N°1

Fecha: Quito, 14 de diciembre del 2016.

Variables Aleatorias Discretas.

Una variable aleatoria, X, decimos que es de tipo discreto (conteos) cuando puede tomar los valores x₁, ..., x_k con probabilidades P(x₁), ..., P(x_k). 

Sean

X: Variable aleatoria

S: Espacio muestral

e: Cualquier elemento de S

x: Valor que puede tomar X

R: Conjunto de los números reales

Entonces

X: S → R Es la correspondencia que establece la variable aleatoria X

e → x, dom X = S, rg X ⊂ R

*Cardinalidad: Número de elementos en el S.

Ejemplo 1:

• En un experimento se lanzan tres monedas y se observa el resultado (c: cara o s: sello).

S = {( c, c, c),( c, c, s),( c, s, c),( s, c, c),( c, s, s),( s, c, s),( s, s, c),( s, s, s)}

Describa con una variable, el número de sellos que se obtienen.

Los posibles resultados se los puede representar con una variable. Si X es ésta variable, entonces se dice que X es una variable aleatoria:

X: Variable aleatoria (número de sellos que se obtienen).

Al realizar el experimento, se obtendrá cualquier elemento del espacio muestral S.

Por lo tanto, la variable aleatoria X puede tomar alguno de los números:

x = 0, 1, 2, 3.

dom X = S, rg X = {0, 1, 2, 3}

Las variables aleatorias pueden representarse con las letras mayúsculas X, Y, ...

Y: Diferencia entre el número de caras y sellos.

su rango sería: rg Y= { -3, -1, 1, 3 }

Z: El número de caras al cubo, mas el doble del número de sellos, etc.

su rango sería: rg Z= { 5, 6, 10, 27 }

Para cada variable aleatoria el rango es un subconjunto de los reales.

En el ejemplo, X es una variable aleatoria discreta pues su rango es un subconjunto de los enteros. Además es finita.

FUNCIÓN DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD

- La gráfica es asimétrica.

HISTOGRAMA DE PROBABILIDAD

Cuando los valores posibles de una variable aleatoria discreta están espaciados uniformemente, la función de masa de probabilidad se puede representar por medio de un histograma, con rectángulos centrados en los valores posibles de la variable aleatoria. El área de un rectángulo centrado en un valor x es igual a P(X  x). Este histograma se llama un histograma de probabilidad, ya que las áreas representan probabilidades.

Ejemplo 2:

• Sea X una variable aleatoria discreta cuya distribución de probabilidad está dada por:

→ (1/14) x²,  x= 0, 1, 2, 3

P(X=2)= (1/14) (2)^2= 2/7

x	f(x) = P(X=x)
0	0
1	1/14
2	4/14
3	9/14

^{DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD ACUMULADA DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA}

El dominio de F es el conjunto de los números reales, por lo tanto es válido evaluar F(x) para cualquier valor real x.

Gráfica de distribución acumulada.

Propiedades de la Distribución Acumulada para Variables Aleatorias Discretas

1) 0 ≤ F(x )≤1 F es una función de probabilidad
2) a ≤ b ⇒ F(a) ≤ F(b) F es creciente
3) P(X>a) = 1 – P(X≤a) = 1 – F(a) Complemento de Probabilidad

Puedes ver ejemplos haciendo clic aquí.URL: http://www.educarchile.cl/ech/pro/app/detalle?id=227465

Clase N°2

Fecha: Quito, 16 de diciembre del 2016.

Moda y Varianza de las variables discretas.

La media o esperanza de X se define como:

Propiedades de la media o esperanza:

La varianza de X se define como: 

Propiedades de la varianza: 

La desviación estándar es:

Si quieres ver más de v.a.d. mira el vídeo.
URL: https://www.youtube.com/watch?v=naEqsDvkIXs

También puedes revisar el siguiente enlace sobre variables aleatorias discretas: http://slideplayer.es/slide/5431703/

Variables Aleatorias Continuas.

Una variable aleatoria continua es una modelización teórica de una característica X de tipo continuo, en la que nos quedamos con lo esencial que se obtendría en un proceso de muestreo.

- Sus probabilidades están dadas por áreas bajo la curva. La curva se llama función de densidad de probabilidad para la v.a. (variable aleatoria).

- La función de densidad de probabilidad también es llamada distribución de probabilidad. 

- Debe cumplirse:

- También se dice que X es continua si P(X=x)=0 (Probabilidad puntual)

- Si F^f son funciones de distribución y de densidad de la variable aleatoria continua, se cumple:

P(a< x<b) = F(a) - F(b)

Función de distribución acumulativa F(x) 

Representa una función continua si su gráfica no presenta ningún salto. Ésta es una característica de las variables aleatorias continuas. La función de distribución acumulativa de una variable aleatoria continua será continua siempre, mientras que la función de distribución acumulativa de una variable aleatoria no continua nunca será continua.

Te recomiendo ver este video.

Clase N°3


Fecha: Quito, 21 de diciembre del 2016.

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN

Definición: Función de distribución

Definición: Propiedades de la función de distribución.

La propiedad 3 es útil para calcular los valores de probabilidad de la variable x.

Ejemplo 1: 

• Suponga que el tiempo de atención de cada cliente en una estación de servicio es una variable aleatoria continua con la función de densidad de probabilidad: 

a) Verifique que cumple las propiedades de una función de densidad 

Sea X: variable aleatoria contínua (duración en horas)

b) Calcule la probabilidad que el tiempo de atención esté entre 15 y 30 minutos  

Interpretación gráfica  

c) Encuentre la función de distribución

d) Gráfica la función de distribución.

e) Use la función de distribución para calcular P(1/4<X<1/2)



Te recomiendo leer esta pdf para más información y otros ejemplos.
URL: http://www.estadisticacondago.com/images/estadistica_inferencial/VARIABLES%20ALEATORIAS.pdf